例如：sin1′′≈tan1′′≈1′′=1/206265 rad

由此得：1rad=206265′′=206265 sin1′′

根据相同的理由，得：sinθ′′≈tanθ′′≈θ′′= θ/206265=θsin1′′

上式常写为：θ=θ′′sin1′′

球面上的圆：从立体几何学得知，通过球心的平面截球面所得的截口是一个圆，叫做大圆；不通过球心的平面截球面所得的截口也是一个圆，叫做小圆。通过球面上不在同一直径两端的两个点，能做并且只能做一个大圆。

例如通过图1中的任意两点A和B，也仅可以做一个大圆ABC。A、B两点间的大圆弧（小于180°的那段弧）可以用线长、也可以用角度计量，在天文上常用角度来计量，叫做A、B间的角距，记为⌒AB（⌒应该画在AB的上方，下同） ，它等于大圆弧⌒AB所对的中心角∠AOB。

球面上圆的极：设⌒ABC为球面上的一个任意圆（图2），它所在的平面为MABC，又设PP’为垂直于平面MABC的球直径，则它的两个端点P和P’叫做圆⌒ABC的极。如果用一句话来表达，可以这样说：垂直于球面上一已知圆（不论大圆或小圆）所在平面的球直径的端点，叫做这个圆的极。

球面上某一圆的极和这个圆上任一点的角距，叫做极距。可以证明，极到圆上各点的角距都是相等的；如果所讨论的圆是一个大圆的话，则极距为90°。

球面角：两个大圆弧相交所成的角，叫做球面角。它们的交点叫做球面角的顶点。大圆弧本身叫做球面角的边。图3绘出了两个相交的大圆弧⌒PA和⌒PB，O为球心，⌒PA所在的平面为POA，⌒PB所在的平面为POB，两者的交线为OP。球面角∠APB用POA和POB所构成的两面角来量度。在图3中做以P为极的大圆⌒QQ’，设⌒PA（或其延线）和⌒QQ’相交于A’，⌒PB（或其延线）和⌒QQ’相交于B’，则由于P为⌒QQ’的极，所以OP垂直于平面QQ’，因而也垂直于OA’和OB’，所以∠A’OB’就是平面POA和POB所构成的两面角。即：球面角∠APB可以用∠A'OB'量度，又因为∠A'OB'可以用 A'B'量度，所以最后得到的球面角∠APB是以⌒A'B'弧量度的。

从上面的讨论可以概括出下述结果：如果以球面角的顶点为极作大圆，则球面角的边或其延长线在这个大圆上所截取的那个弧段便是球面角的数值。

球面三角形：把球面上的三个点用三个大圆弧联结起来，所围成的图形叫做球面三角形。这三个大圆弧叫做球面三角形的边，通常用小写拉丁字母a、b、c表示；这三个大圆弧所构成的角叫做球面三角形的角，通常用大写拉丁字母A、B、C表示，并且规定：A角和a边相对，B角和b边相对，C角和c边相对（如图4所示）。三个边和三个角合称球面三角形的六个元素。

极三角形：设球面三角形ABC各边a、b、c的极分别为A'、B'、C'（图5），并设弧⌒AA'、⌒BB'、⌒CC'都小于90°，则由通过A'、B'、C'的大圆弧构成的球面三角形A'B'C'叫做原球面三角形的极三角形。

极三角形和原三角形有着非常密切的关系，这种关系存在着两条定理。

定理1：如果一球面三角形为另一球面三角形的极三角形，则另一球面三角形也为这一球面三角形的极三角形。这条定理很容易证明，请读者自证。

定理2：极三角形的边和原三角形的对应角互补；极三角形的角和原三角形的对应边互补。

证明：B'是b的极（图5），C'是c的极，所以有：

⌒B'E=⌒C'D=90°；⌒B'E+⌒C'D=180°。

即⌒B'C'+⌒DE=180°

但由定理1，A是⌒B'C'的极，故有⌒DE=A，将此式以及⌒B'C'=a'代人上式，便得到

a'+A=180° （1.1）

（1.1）式即定理2的前半的证明。定理2的后半不需证明；因为实际上，它只是定理1和定理2的前半的一个推论。

1．球面三角形两边之和大于第三边。

证明：将球面三角形ABC的顶点和球心O连结起来（图6），由立体几何得知：三面角的两个面角之和大于第三个面角，即∠AOB+∠BOC>；∠AOC。故c+a>b。同理a+b>c，a+c>a。

推理：球面三角形两边之差小于第三边。

2．球面三角形三边之和大于0°而小于360°。

证明：因为a，b，c均为正，故a+b+c>0°，又由立体几何得知凸多面角各面角之和小于360°，因此∠AOB+∠BOC+∠COA<360°；0

3．球面三角形三角之和大于180 °而小于540 °。

证明：由极三角形和原三角形的关系得：a'+A = 180°， b'+B = 180°，c'+C = 180°，即 A+B+C = 540°―(a'+b'+c')。

但根据定理2有：0°

所以上式化为180°

除了上述三个基本性质以外，还有两个重要的基本性质；对于这两个性质，我们只写出结果，而不给出证明。

4．若球面三角形的两边相等，则这两边的对角也相等。反之，若两角相等，则这两角的对边也相等。

5．在球面三角形中，大角对大边，大边对大角。

下面我们要推导出六个基本公式，它们全是针对三个边都小于90°的球面三角形导出的，但是能够证明所得公式适用于任何球面三角形。

取球面三角形ABC，将各顶点与球心°连结，可得一球心三面角O-ABC（图7）。

过顶点A做b、c边的切线，分别交OC，OB的延长线于N、M，由此得到两个平面直角三角形OAM、OAN和两个平面普通三角形△OMN、△AMN。

在平面三角形OMN中，应用平面三角的余弦定理，得MN2=OM2+ON2－2OM·ONcosa。

同理，在平面△AMN中，得MN2=AM2+AN2－2AM·ANcosA．

因此OM2+ON2－2OM·ONcosa = AM2+AN2－2AM·ANcosA，即2OM·ONcosa = (ON2－AN2）+(OM2－AM2）+2AM·ANcosA=OA2+OA2+2AM·ANcosA。或cosa=(OA/ON)(OA/OM) +(AN/ON)(AM/OM）·cosA。

将OA/ON=cosb，OA/OM=cosc，AN/ON=sinb，AM/OM = sinc代入上式，便得到cosa=cosbcosc+sinb sinccosA （1.2）

（1.2）式是a边的余弦公式，其他两个边的余弦公式在形式上和（1.2）式完全一样，可以用依次轮换边和角的字母的方法而得出，所以从（1.2）式得到b边的余弦公式为cosb=cosccosa+sincsinacosB （1.3）

由（1.3）式得到c边的余弦公式为cosc=cosacosb+sina sinbcosC （1.4）

（1.2）式、（1.3）和（1.4）式合称边的余弦公式，可以用文字表达为：球面三角形任意边的余弦等于其他两边余弦的乘积加上这两边的正弦及其夹角余弦的连乘积。

设球面三角形ABC的极三角形为A'B'C'，则按照（1.2）式有cosa'=cosb' cosc'+sinb' sinc' cosA'。

因为 a'=180°－A，b'=180°－B，c'=180°－C，A' =180°－a，所以上式化为－cosA=cosBcosC－sinBsinC cosa。即 cosA=－cosBcosC+sinBsinCcosa （1.5）

利用轮换变更字母法，可以得出B角和C角的余弦公式。（1.5）式就是角的余弦公式，可用文字表达为：球面三角形任一角的余弦等于其它两角余弦的乘积冠以负号加上这两角的正弦及其夹边余弦的连乘积。

取球面三角形ABC，做球心三面角O-ABC。过C点做OAB平面的垂线交此平面于D（图8），再从D向OA、OB引垂线DE，DF。连接CE和CF；由此得四个平面三角形OEC、OFC、CDE、CDF。因CD垂直于平面OAB，DE⊥OA，所以OA⊥CE；同理OB⊥CF，因此，四个平面三角形OEC、OFC、CDE、CDF都是直角三角形，并且有∠CED=A，∠CFD=B。

从图8可得sina/sinA =(CF/OC)/(CD/CE)=(CF·CE)/(OC·CD)，sinb/sinB =(CE/OC)/(CD/CF)=(CF·CE)/(OC·CD)。因得 sina/sinA= sinb/sinB。利用轮换变更字母法，可以得出其它两个类似的式子，最后得sina/sinA= sinb/sinB= sinc/sinC（1.6）

（1.6）式就是正弦公式，文字表达为：球面三角形各边的正弦和对角的正弦成正比。

由边的余弦公式有：cosa =cosb cosc + sinb sinc cosA；cosb=cosc cosa + sinc sina cosB。

第二个式子可以改写为：sinc sina cosB=cosb－cosc cosa。

将第一个式子代入上式的右边，得sinc sina cosB=cosb－cosc（cosb cosc+sinb sinc cosA）=cosb－cosb (cosc)2－sinb sinc cosc cosA=cosb (sinc)2－sinb sinc cosC cosA。

将上式两端各除以sinc，便得到sinacosB=cosbsinc－sinbcosccosA （1.7）

同理，得sinacosC=cosc sinb－sinc cosb cosA （1.8）

其他类似的式子可以从（1.7）式或（1.8）式，利用轮换变更字母法得出。（1.7）式或（1.8）式都是第一五元素公式，它具有一定的规律，但是它的文字表达式很繁琐，因此这里不写出来。

利用极三角形和原三角形的关系（定理2），可以导出下列两个公式：

sinA cosb=cosB sinC+sinB cosC cosa （1.9）

sinA cosc=cosC sinB+sinC cosB cosa （1.10）

其它类似的式子可以从（1.9）式或（1.10）式，利用轮换变更字母法得出，（1.9）或（1.10）式都是第二五元素公式。它的文字表达式也没有必要写出来。

把第一五元素公式和正弦公式联合起来，可以导出球面三角形中相邻的四个元素的关系式，即：

cotA sinC=－cosCcosb+sinb cota （1.11）

cotA sinB=－cosB cosc+sinc cota （1.12）

其他类似的式子，可以从（1.11）式或（1.12）式利用轮换变更字母法得出。

有一个角等于90°的球面三角形叫做直角球面三角形。设球面三角形ABC中，C=90°，且cosC=0，sinC=1，将它们代入以上各公式，经过适当的变换，可得下列常用的直角三角形公式：

cosc = cosa cosb， sinb = sinc sinB

sina = sinc sinA， sinb = tana cotA

sina = tanbcotB， cosc = cotAcotB

cosB = tana cotc， cosA=tanb cotc

cosB = cosb sinA， cosA=cosa sinB ——（1.13）

为了便于记忆这十个直角三角形公式，聂比尔提出了一条很有用的定则。除掉直角C，用（90°－a）和（90°－b）分别代替夹直角的两个边a和b，然后把所得的五个元素依序排成一个圆（如图9所示）；这样，每个元素有两个相邻元素和两个相对元素。聂比尔定则为：每个元素的余弦等于两相邻元素的余切的乘积或者等于两相对元素的正弦的乘积。例如，当所选元素为C时根据定则的前半得cosc=cotAcotB，这就是（1.13） 式里的第六式。根据定则的后半得cosc=sin（90°－b)sin（90 °－a)=cosa cosb，这就是（1.13）式里的第一式。

全球网格模型在全球空间数据库、全球性问题研究和基于空间信息集成等方面具有潜在的应用价值，国内外学者对之开展了大量工作。全球网格构建主要采用下面3种方式(Whiteetal.，1992，1998，1999；Sahretal.，2003)：第1种方式是在球面柏拉图立体上直接剖分球面，如Sadourny等(1968)的剖分模型以及LianSong等(2000)所提出的小圆弧剖分模型等；第2种是循环剖分柏拉图立体的弦，然后映射到球面，如Dutton(2000，1996，1998)所提出的QTM模型等；第3种均匀剖分展开在柏拉图立体各面的地图投影，如Snyder(1989)多面体投影族、Fekete(1990a，b)提出的SQT模型(该模型实质上是一种Gnomonic投影剖分(Snyder&Voxland，1989))、Fuller-Gray投影(Gray，1995，1994)等，然后反投影到球面。3种方法各有优缺点。其中Sadourny及Dutton的QTM模型顶点在球面上的分布具有确切的映射位置，但边界模糊，缺乏明确的数学定义，直接影响模型的实际应用。Dutton利用ZOT投影将正八面体投影到平面上，转换为由平面直角三角组成的正方形网格，通过递归求解找到经纬度所对应的三角格子，坐标转换相对容易；而GoodChild等(1992)以及Otoo等(1993)基于一定的数学假设推导出QTM扩展投影方程，将经纬度坐标快速转换到平面上，坐标计算简单快速。LianSong所设计的模型通过调整小圆弧空间关系构建等面积三角剖分，计算方式复杂，坐标转换困难，计算量大。第3种剖分方式直接剖分投影三角面，单点坐标转换方便，但剖分几何意义不明确，有的能保证等面积特性，但等角变异大，如基于Snyder等面积投影的ISEA剖分模型边界扭曲严重，投影计算复杂，投影和逆投影转换没有显式求解方法；有的能保证等角形变，如Gnomonic投影(即SQT剖分模型)，但面积变异太大；Fuller-Gray投影能保证等角和等面积特性相对均衡，但坐标计算较复杂(投影坐标反算到经纬度坐标无显式解，需要通过数字逼近方法计算得到)。Goodchild，White和Clarke等(1995)分别对全球网格剖分模型的设计和选择标准进行了研究，指出全球网格模型评价和设计原则是一个多要素相互独立的多指标体系，已知剖分模型中不存在一种所有评价指标最好的模型，每个模型或者一些指标性能很好，但另外一些指标相对较差。

根据空间信息表达、组织和管理的应用特点，本文选择剖分等形状、等面积、坐标转换计算简单快速作为全球格网主要评价指标。按该三指标体系，已有的剖分模型的指标性能不均衡，如Fuller-Gray和ISEA剖分相对等形状和等面积，但坐标转换繁琐，而且ISEA边界扭曲严重；QTM坐标转换相对容易，但形状和面积的分布存在较大差异。本文设计了等角比例投影，该投影可支持包括正八面体，正二十面体等多种柏拉图立体，球面特征曲线(纬度圈，大圆弧等)上的均匀剖分点均匀地投影到投影面中。该投影的数学几何模型简单，逆计算方便。按照该投

影性质，然后基于正二十面体构建了EARPIH剖分模型。该模型几何意义明确，较好地满足了近似规则、等边、等面积的要求；剖分边界相对平滑，扭曲不明显；同时球面点与格网的关系转换为投影与投影三角格网间的线性关系。与其他剖分模型相比，三指标相对均衡，是一种比较理想的剖分模型。

全球格网中只有原始球面三角能够保证严格的等形状特性，比如正八面体的球面剖分或者正二十面体球面剖分，其他任意深度的剖分将破坏等边性，等面积性。因此只能尽量保证近似等边性以及近似等面积性。由于全球网格模型构建方法种类繁多，包括球面直接剖分、球面弦剖分以及投影平面剖分等方式，难以直接进行投影方程的面积形变和角度形变分析。因多数剖分的边界定义模糊，计算复杂，本文将以剖分单元的3个顶点为计算依据，采用类似Dutton的方法直接利用每个球面三角单元对应的平面三角作为标准进行QTM、ISEA、SQT和EARPIH模型的比较，当剖分越深，平面三角的弦边与球面三角的弧边越接近，球面三角也越接近平面三角。

在正二十面体等角比例投影基础上，本文构建了EARPIH正二十面体球面剖分模型。该剖分模型有两种产生方法：一种是投影平面均分的三角格网反投影到球面产生；第二种方法直接均匀剖分球面特征弧段，结点的几何意义明确，但边界定义模糊，必须借助第一种方法解决。

全球网格模型的空间几何均匀性直接与正多面体的阶数相关，阶数越大，剖分越相对均匀，如基于正八面体的QTM与基于正二十面体的EARPIH，ISEA，SQT等模型相比，等面积性和等边性存在较大差异，性能相对较差。而后3种剖分基于正二十面体，阶数最高，有关指标相对接近。与ISEA相比，EARPIH的主要优势在于计算相对简单，投影方程和逆投影方程具有显式解，而ISEA计算复杂，投影和逆投影转换只能通过数字计算方式，且ISEA的剖分边界存在严重的扭曲。EARPIH的等面积性好于SQT。总之，以等边性比较，SQT最好，EARPIH好于ISEA，QTM最差；在等面积性方面，ISEA最好，EARPIH次之，SQT第三，QTM最差；计算方法方面，QTM最简单，SQT与EARPIH涉及三角函数，计算复杂度接近，而ISEA最为复杂。因此EARPIH基本满足了设计标准，三个指标相对均衡。