公理二　过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理三　如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理四平行于同一条直线的两条直线互相平行。

推论一　经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

推论二　经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论三　经过两条平行直线，有且只有一个平面。

如果两个平面有一个公共点，就说这两个平面相交。

平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

一　如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

二　垂直于同一条直线的两个平面平行。

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

一如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

二如果一条直线在一个平面内，那么与此平面平行的平面与该直线平行。

一一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

二如果一条直线垂直于一个平面，那么与这条直线平行的直线垂直于该平面。

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

一 垂直于同一个平面的两条直线平行。

二 若直线垂直于平面，则直线垂直于这个平面的所有直线。

三平行于同一条直线的两条直线互相平行。

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

(1)α∩β=A→α∩β=l,l⊂α

(2)l⊄α,l//m,m⊂α→l//α

(3)m⊂α,n⊂α,m∩n=O,m//β,n//β→α//β

(4)α⊥l,β⊥l→α//β

(5)l//α,l⊂β,α∩β=m→l//m

(6)α//β,α∩γ=l,β∩γ=m→l//m

(7)α//β,l⊂α→l//β

(8)l⊥m,l⊥n,m∩n=O,m⊂α,n⊂α→l⊥α

(9)m//n,α⊥m→n⊥α

(10)l⊂α,l⊥β→α⊥β

(11)α⊥m,α⊥n→m//n

(12)l⊥α,m⊂α→l⊥m

(13)α⊥β,α∩β=l,m⊥l,m⊂α→m⊥β

根据定义，设动点为M（x，y，z），两点分别为（a，b，c）和（d，e，f）

则[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2]^1/2=[(x-d)^2+(y-e)^2+(z-f)^2]^1/2

x^2-2ax+y^2-2by+z^2-2cz+(a^2+b^2+c^2)=x^2-2dx+y^2-2ey+z^2-2fz+(d^2+e^2+f^2)

(2d-2a)x+(2e-2b)y+(2f-2c)z+(a^2-d^2+b^2-e^2+c^2-f^2)=0

形式为ax+by+cz+d=0

取平面内三点：A(0,0,-d/c)B(1,1,-(d+b+a)/c)C(0,2,-(d+2b)/c) 　AC=(0,2,-2b/c)AB=(1,1,-(a+b)/c) 　设向量n：(x,y,c)为平面的法向量，则 　2y-2b=0 x+y-(a+b)=0 　->y=b x=a 　则n=(a,b,c)为平面的一个法向量。

直线切割平面是指用直线将平面划分成多个部分。

n条直线最多将平面分割成1+个部分，最少将平面分割成1+n个部分。

证明：（1）有一条直线时，最少分成2部分，最多分成1+1=2部分；

（2）有两条直线时，最少分成3部分，最多分成1+1+2=4部分，此时两直线有一个交点；

（3）有三条直线时，最少分成4部分，最多分成1+1+2+3=7部分，此时三条直线有三个交点；

（4）设直线条数有n条，分成的平面最多有a个，最少有b个，有以下规律：

a=1+1+…+（n-1）+n=+1，此时n条直线有n个交点；b=1+n；

圆切割平面是指用圆将平面划分成多个部分。

n个圆最多将平面分割成2+n（n-1）个部分，最少将平面分割成2n个部分。

证明：

设n个圆最多可以把平面分成S(n)个部分

则可得：

S(1)=2；

S(2)=4；

...

前n-1个圆最多将平面分成S(n-1)个部分,此时,对于第n个圆来说,它与先前的n-1个圆最多有2(n-1)个交点,即此第n个圆最多被这2(n-1)个交点分成2(n-1)条圆弧段.由于每增加一个圆弧段,便可将原来的某个区域分为两个区域（此处最好看图分析）.因此,第n个圆使平面增加了2(n-1)个区域.因此可得递推关系式：

S(n)=S(n-1)+2(n-1), 其中n大于等于2.

由此递推关系式得到：

S(n)=S(1)+2*1+2*2+...+2*(n-1)=2+n*(n-1)=2+n（n-1）；

即n个圆最多可以把平面分成2+n（n-1）个部分。

证明最少同直线。

三角形切割平面是指用三角形将平面划分成多个部分。

n个三角形最多将平面分割成3n（n-1）+2个部分，最少将平面分割成2n个部分。

证明：平面本身是1部分．一个三角形将平面分成三角形内、外2部分，即增加了1部分，

两个三角形不相交时将平面分成3部分，相交时，交点越多分成的部分越多（见图1）；

由图1看出，新增加的部分数与增加的交点数相同，所以，再画第3个三角形时，应使每条边的交点尽量多；

对于每个三角形，因为1条直线最多与三角形的两条边相交，所以第3个三角形的每条边最多与前面2个三角形的各两条边相交，共可产生3×（2×2）=12（个）交点，即增加12部分；

因此，3个三角形最多可以把平面分成：1+1+6+12=20（部分）；

由上面的分析，当画第n（n≥2）个三角形时，每条边最多与前面已画的（n-1）个三角形的各两条边相交，

共可产生交点：3×[（n-l）×2]=6（n-1）（个），能新增加6（n-1）部分，

因为1个三角形时有2部分，所以n个三角形最多将平面分成的部分数是：

2+6×[1+2+…+（n-1）]=2+6×=2+3n（n-1），

证明最少同直线。

设直线方程为x=kz+b,y=lz+a,平面方程为cx+dy+ez+f=0,p=k+l+e,q=a+b+f

属于：p=0,q=0

平行：p=0,q≠0

相交：p≠0

垂直：c/k=l/d=e

设平面a的方程为ax+by+cz+d=0平面b的方程为a1x+b1y+c1z+d1=0

((|a||+|b|+|c|+|d|)^2(|a1+|b1+|c1|+|d1|)^2>0)

相交：不平行也不重合

平行：a/a1=b/b1=c/c1≠d/d1

重合：a/a1=b/b1=c/c1=d/d1

垂直：aa1+bb1+cc1+dd1=0

设平面e、f的法向量为c、d 直线m的方向向量为a (把直线z=kx+b,z=ly+a的方向向量(k,l,1)代入，

把平面ax+by+cz+d=0的法向量(a,b,c)代入

直线和平面所成的角：

设b为m和e所成的角，则b=π/2±。sinb=|cos|=|a*c|/|a||c|

二面角：当双法向量的朝向一致时，平面e、f的法向量为c、d

设二面角e-e∩f-f为a，那么a=π-=π-|c*d|/|c||d|

当双法向量的朝向不一致时，平面e、f的法向量为c、d

设二面角e-e∩f-f为a，那么a==|c*d|/|c||d|

点到平面的距离：设PA为平面的一条斜线，O是P点在a内的，PA和a所成的角为b，n为a的法向量。

易得：|PO|=|PA|sinb=|PA|*|cos|=|PA|*(|PA*n|/|PA||n|)=|PA*n|/|PA|

直线到平面的距离为在直线上一点到平面的距离；

平面到平面的距离为在平面上一点到平面的距离；

点到直线的距离：A∈l,O是P点在l上的射影，PA和l所成的角为b，s为l的方向向量。

易得：|PO|=|PA|*|sinb|=|PA|*|sin|=|(PA|^2|s|^2|-|PA*s|^2)^1/2/|s|