更新时间：2023-06-29 16:43
对于n维空间中的简单多面体，其零维对象数（即顶点数）D0、一维对象数（即边数）D1、二维对象数（即面数）D2、三维对象数（即体数）D3、……、n维对象数Dn：
其中符号为负正号交替出现，等式一边是各维对象数的重复减加，等式另一边是1。
一般以V（Vertex）表示零维对象（即顶点）数D0，以E（Edge）表示一维对象（即边、棱）数D1，以F（Flat surface）表示二维对象（即面）数D2，以S（Solid）表示三维对象（即体）数D3，以P表示四维对象数D4。
对于一般的三维空间，该公式表达为：
由于对于一个三维物体，其体数S总是1，则该公式可变形为：
一方面，利用面求内角总和。
设有F个面，各面的边数分别为n1,n2，…，nF，
各面的内角总和为：
Σα = [(n1-2)·180°+(n2-2)·180°+…+(nF-2) ·180°]
= (n1+n2+…+nF -2F) ·180°
=(2E-2F) ·180°= (E-F) ·360°（1）
另一方面，利用顶点来求内角总和。
设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·180°，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360°，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180°。所以，多面体所有各面的内角和为：
Σα = (V-n)·360°+(n-2)·180°+(n-2)·180°=（V-2）·360°. （2）
由（1）（2）得
(E-F) ·360°=（V-2）·360°
所以 V+F-E=2.
（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律；
（2）思想方法创新：在定理的发现及证明过程中，在观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；在方法上将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平，化为平面图形（立体图→平面图）。
（3）引入拓扑新学科：“拉开图”与以前的展开图是不同的，从立体图到拉开图，各面的形状，以及长度、距离、面积、全等等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。
事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。
（4）给出多面体分类方法：
在欧拉公式中，令 f(p)=V+F-E，f(p)叫做欧拉示性数。定理告诉我们，简单多面体的欧拉示性数f (p)=2。
除简单多面体外，还有不是简单多面体的多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面，它的欧拉示性数为f (p)=16+16-32=0，
所以带一个洞的多面体的欧拉示性数等于零。