若定义广义坐标的变换方程和t无关，可以证明H等于总能量E=T+V.

的定义的每边各产生一个微分：

把前面共轭动量的定义代入这个方程并合并系数，我们得到哈密顿力学的运动方程，称为哈密顿方程：

哈密顿方程是一阶微分方程，因而比拉格朗日方程容易解，因为那个是二阶的。但是，导出运动方程的步骤比拉格朗日力学更繁琐 - 从广义坐标和拉格朗日量开始，必须先计算哈密尔顿量，用共轭动量来表达每个广义坐标，然后将共轭动量代入哈密顿量。总之，用哈密顿力学来解决问题不比用拉格朗日力学简单多少。最终，这会得到和拉格朗日力学和牛顿运动定律同样的解。

哈密顿方法的主要优点在于它提供了经典力学理论的更深刻结果的基础。

哈密顿系统可以理解为时间R上的一个纤维丛E，其纤维Et，t∈R是位置空间。拉格朗日量则是E上的jet丛（射流丛）J上的函数；取拉格朗日量的纤维内的勒让德变换就产生了一个时间上的对偶丛的函数，其在t的纤维是余切空间TEt，它有一个自然的辛形式，而这个函数就是哈密顿量。

任何辛流形上的光滑实值函数H可以用来定义一个哈密顿系统。函数H称为哈密顿量或者能量函数。该辛流形则称为相空间。哈密顿量在辛流形上导出一个特殊的矢量场，称为辛矢量场。

该辛矢量场，称为哈密顿矢量场，导出一个流形上的哈密顿流。该矢量场的一个积分曲线是一个流形的变换的单参数族；该曲线的参数通常称为时间。该时间的演变由辛同胚给出。根据刘维尔定理每个辛同胚保持相空间的体积形式不变。由哈密顿流到处的辛同胚的族通常称为哈密顿系统的哈密顿力学。

哈密顿矢量场也导出一个特殊的操作，泊松括号。泊松括号作用于辛流形上的函数，给了流形上的函数空间一个李代数的结构。

特别的有，给定一个函数f

若我们有一个概率分布, ρ,则（因为相空间速度（）有0散度，而概率是不变的）其传达导数（convective derivative）可以证明为0，所以

这称为刘维尔定理。每个辛流形上的光滑函数G产生一个单参数辛同胚族，而若{G,H} = 0,则G是守恒的，而该辛同胚是对称变换。

哈密顿矢量场的可积性是未解决的问题。通常，哈密顿系统是混沌的；测度，完备性，可积性和稳定性的概念没有良好的定义。迄今为止，动力系统的研究主要是定性的，而非定量的科学。

哈密顿量的重要特例是二次型，也就是，可以如下表达的哈密顿量

其中是纤维（组态空间中的点q上的余切空间）上的余度量。该哈密顿量完全由动能项组成。

若考虑一个黎曼流形或一个伪黎曼流形，使得存在一个可逆，非退化的度量，则该余度量可以简单的由该度量的逆给出。哈密顿-雅可比方程的解就是流形上的测地线。特别的有，这个情况下的哈密顿流就是测地流。这些解的存在性和解集的完备性在测地线条目中有详细讨论。