更新时间：2023-09-18 15:52
群G中任意一个元素a，都在G中有唯一的逆元a‘,具有性质aa'=a'a=e，其中e为群的单位元。
例如：4关于1模7的乘法逆元为多少？
4X≡1 mod 7
这个方程等价于求一个X和K，满足
4X=7K+1
其中X和K都是整数。
若ax≡1 mod f, 则称a关于1模f的乘法逆元为x。也可表示为ax≡1(mod f)。
当a与f互素时，a关于模f的乘法逆元有解。如果不互素，则无解。如果f为素数，则从1到f-1的任意数都与f互素，即在1到f-1之间都恰好有一个关于模f的乘法逆元。
例如，求5关于模14的乘法逆元：
14=5*2+4
5=4*1+1
说明5与14互素，存在5关于14的乘法逆元。
1=5-4=5-(14-5*2)=5*3-14
因此，5关于模14的乘法逆元为3。
其求法可用欧几里德算法：
Extended Euclid (d，f) //算法求d关于模f的乘法逆元d-1 ，即 d* d-1 mod f = 1
1 。(X1，X2，X3) := (1，0，f)； (Y1，Y2，Y3) := (0，1，d)
2。 if (Y3=0) then return d-1 = null //无逆元
3。 if (Y3=1) then return d-1 = Y2 //Y2为逆元
4。 Q := X3 div Y3 //整除
5。 (T1，T2，T3) := (X1 - Q*Y1，X2 - Q*Y2，X3 - Q*Y3)
6 。(X1，X2，X3) := (Y1，Y2，Y3)
7。 (Y1，Y2，Y3) := (T1，T2，T3)
8。 goto 2
常用于加密算法中，如仿射算法。
求此算法还可以使用费马小定理
只不过局限性比较大，要求模数是素数
a^(p-1)1(mod p)
p要求是素数
那么a^(p-2)就是a的乘法逆元